函數及其表示高中一年級數學(xué)知識點(diǎn)
函數及其表示高中一年級數學(xué)知識點(diǎn)
1、函數的概念：
設A、B是非空的數集，如果按照某個(gè)確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱(chēng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數.記作： y=f(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| xA }叫做函數的值域.
注意：○2如果只給出解析式y=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數的集合;○3 函數的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區間的形式.
定義域補充
能使函數式有意義的實(shí)數x的集合稱(chēng)為函數的定義域，求函數的定義域時(shí)列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被開(kāi)方數不小于零; (3)對數式的真數必須大于零;(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過(guò)四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零 (6)實(shí)際問(wèn)題中的函數的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。)
2. 構成函數的三要素：定義域、對應關(guān)系和值域
再注意：(1)構成函數三個(gè)要素是定義域、對應關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數的定義域和對應關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數相等(或為同一函數)(2)兩個(gè)函數相等當且僅當它們的定義域和對應關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無(wú)關(guān)。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)
值域補充
(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解復雜函數值域的基礎。
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象.
C上每一點(diǎn)的坐標(x，y)均滿(mǎn)足函數關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序實(shí)數對x、y為坐標的點(diǎn)(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , xA }
圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(xiàn)(或直線(xiàn)),也可能是由與任意平行與Y軸的直線(xiàn)最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線(xiàn)或離散點(diǎn)組成。
(2) 畫(huà)法
A、描點(diǎn)法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內描出相應的點(diǎn)P(x, y)，最后用平滑的曲線(xiàn)將這些點(diǎn)連接起來(lái).
B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱(chēng)變換
(3)作用：
1、直觀(guān)的看出函數的性質(zhì);
2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
3、發(fā)現解題中的錯誤。
4、快去了解區間的概念
(1)區間的分類(lèi)：開(kāi)區間、閉區間、半開(kāi)半閉區間;(2)無(wú)窮區間;(3)區間的數軸表示.
4.什么叫做映射
一般地，設A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱(chēng)對應f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作f：A B
給定一個(gè)集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說(shuō)明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有方向性，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關(guān)系一般是不同的;③對于映射f：AB來(lái)說(shuō)，則應滿(mǎn)足：(Ⅰ)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個(gè);(Ⅲ)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。
5. 常用的函數表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：
○1 函數圖象既可以是連續的曲線(xiàn)，也可以是直線(xiàn)、折線(xiàn)、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數圖象的依據;○2 解析法：必須注明函數的定義域;○3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡(jiǎn)函數的解析式;觀(guān)察函數的特征;○4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征.
注意啊：解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值
補充一：分段函數 (參見(jiàn)課本P24-25)
在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時(shí)必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而就寫(xiě)函數值幾種不同的表達式并用一個(gè)左大括號括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個(gè)函數，不要把它誤認為是幾個(gè)函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.
補充二：復合函數
如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=f[g(x)]=F(x)，(xA) 稱(chēng)為f、g的復合函數。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
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