不定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

時(shí)間：2021-03-30 09:06:45 總結(jié) 我要投稿

　　引導(dǎo)語(yǔ)：不定積分一直是很多人都掌握不好的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，那么不定積分要怎么學(xué)好呢？接下來(lái)是小編為你帶來(lái)收集整理的不定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎閱讀！

不定積分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　不定積分

　　1、原函數(shù)存在定理

　　定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F (x),使對(duì)任一x∈l都有F' (x) =f(x);簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。

　　分部積分法

　　如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為u。

　　2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的'原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

　　定積分

　　1、定積分解決的典型問(wèn)題

　　(1)曲邊梯形的面積（2 )變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

　　2、函數(shù)可積的充分條件

　　定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a上]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，即連續(xù)=>可積。

　　定理設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上可積

　　3、定積分的若干重要性質(zhì)

　　性質(zhì)如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0。

　　推論如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx

　　推論| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx

　　性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值和最小值，則m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

　　性質(zhì)（定積分中值定理）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a,b]上至少存在點(diǎn)ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。

　　4、關(guān)于廣義積分

　　設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)剛[a,b]上除點(diǎn)c ( a<c<b )外連續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界，如果兩個(gè)廣義積分∫acf(x)dx與∫cbf(x)dx 都收斂，則定義∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否則 (只要其中一個(gè)發(fā)散）就稱廣義積分∫abf(x)dx發(fā)散。

　　定積分的應(yīng)用

　　求平面圖形的面積（曲線圍成的面積）

　　直角坐標(biāo)系下（含參數(shù)與不含參數(shù)）

　　極坐標(biāo)系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面積公式 S=R2θ/2)

　　旋轉(zhuǎn)體體積（由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成）（且體積V=∫abπ[f(x)]2dx ,其中f(x) 指曲線的方程）

　　平行截面面積為已知的立體體積（V=∫abA ( x ) dx,其中A ( x )為截面面積）

　　功、水壓力、引力

　　函數(shù)的平均值（平均值y=l/(b-a)*∫abf(x)dx )

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