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高中四個均值不等式推導過程詳解

時間:2025-05-06 09:11:47 好文 我要投稿
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高中四個均值不等式推導過程詳解

  四個均值不等式

  1、調和平均數(shù):Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

  2、幾何平均數(shù):Gn=(a1a2...an)^(1/n)

  3、算術平均數(shù):An=(a1+a2+...+an)/n

  4、平方平均數(shù):Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

  這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。

  均值不等式用數(shù)學歸納法的證明

  第一步:等價變換,分子增加又減去同一項,巧妙處是這一項指數(shù)的選取,正好是要證明的右端。

  第二步:(1)把前面(a1+a2+...+ak)用上面假設n=k成立時較小的右端乘k代替,(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k),兩邊乘k:

  a1+a2+...+ak≥k(a1a2...ak)^(1/k),因此≥成立。

  (2)難點是a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

  其實也很好證明(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1),看成是k-1個數(shù),加上a(k+1),也是k個數(shù)。

  根據(jù)上面假設,n=k時,(a1+a2+...+ak)/k≥(a1a2...ak)^(1/k)是成立的,注意!!!a1,a2,...,ak只是正數(shù)的代表,不限于什么正數(shù),換成k個數(shù):a(k+1),和k-1個(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1),這個不等式也是成立的!代換一下,就成了:

  a(k+1)+(k-1)(a1a2...a(k+1))^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

  第三步:

  前面兩項提取k之后成為:

  (a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

  使用前面一開始證明的n=2時的結果,a1+a2≥2√(a1a2)(當成公式,不是當成數(shù))

  (a1a2...ak)^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

  ≥2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)

  =2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)

  =2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k(k+1)]]}^(1/2)

  =2{(a1a2...ak)^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)

  =2{(a1a2...aka(k+1))^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k]]}^(1/2)

  =2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)-1/k+1/k]]}^(1/2)

  =2{[(a1a2...a(k+1))^[2/(k+1)]]}^(1/2)

  =2(a1a2...a(k+1))^[1/(k+1)]

  然后代入即可。

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